三角拟合与椭圆拟合

三角拟合

我们进行拟合的数据间的理论关系式为

$$ y= A+B\cos(x+\phi) $$

可将它化为形式

$$ y= A+B\cos x \cos \phi - B\sin x\sin \phi $$

令，$C= B\cos x$,$D= B\sin \phi$，则

$$ y= A+C \cos \phi - D\sin \phi $$

可以利用线性拟合来算出系数$C,D$。 定义函数 $$ f=\sum_{k}\left[y_{k}-\left(A+C \cos x_{k}-D \sin x_{k}\right)\right]^{2} $$

线性拟合系数使得残余误差最小，相应的函数 f 也应该取极小值，因此有

$$ \frac{\partial f}{\partial A}=0 \quad \frac{\partial f}{\partial C}=0 \quad \frac{\partial f}{\partial D}=0 $$

由

$$ \frac{\partial f}{\partial A}=-2\sum_{k}\left[y_{k}-\left(A+C \cos x_{k}-D \sin x_{k}\right)\right] = 0 $$

得到关系式

$$ \sum_{k}\left(A+C \cos x_{k}-D \sin x_{k}\right) = \sum_{k}y_k $$

同理可由$\quad \frac{\partial f}{\partial C}=0$ , $\quad \frac{\partial f}{\partial D}=0$ ,得到另外两组关系式：

$$ \begin{aligned}A k+C \sum_{k} \cos x_{k}-D \sum_{k} \sin x_{k} & =\sum_{k} y_{k} \\A \sum_{k} \cos x_{k}+C \sum_{k} \cos ^{2} x_{k}-D \sum_{k}\left(\sin x_{k} \cos x_{k}\right) & =\sum_{k}\left(y_{k} \cos x_{k}\right) \\A \sum_{k} \sin x_{k}+C \sum_{k}\left(\sin x_{k} \cos x_{k}\right)-D \sum_{k} \sin ^{2} x_{k} & =\sum_{k}\left(y_{k} \sin x_{k}\right)\end{aligned} $$

写成矩阵的形式便是

$$ M(x) \begin{bmatrix} A\\ C\\D\end{bmatrix} = N(x,y) $$

由此得到

$$ \begin{bmatrix} A\\ C\\D\end{bmatrix} = M(x)^{-1} N(x,y) $$

从而可求出相位

$$ \phi = \arctan \frac{D}{C} $$